2. 纯律中的所有音程都是由2，3，5这三个倍数关系的组合构建出的。 3. 在纯律中，纯五度和大三度是一个音高与它的3/2倍和5/4倍之间的音程距离。 4. 其他的音程都可以由纯八度、纯五度、大三度这三个音程的叠加或相减推算出来。 0. 给初学者的阅读建议：前三课的重点是音程的概念，第一课中介绍了纯八度，第二课定义了大三度和纯五度，而第三课带大家认识了半音、全音、以及纯八度中的“度”，这三个音程单位。
第一堂课，我们介绍了八度这个音程概念。音程就是音与音之间音高频率上的距离——更确切的说是倍数关系。音程的大小可以用倍数的大小来衡量。而八度音程则代表了两个音之间频率是二倍关系。
这一讲，我们来讨论一下音乐家是如何在一个八度里面挖掘出好听的音程关系的，即Do Re Mi Fa Sol La Ti这些唱名和它们之间的音程是怎么被定义出来的，并由此为下一讲引出“十二平均律”这个概念做铺垫。 今天的内容会涉及一些初高中数学。但是在进入算数前，大家要知道一个现象。人耳除了能够体会八度之外，对有简单整数倍关系的音高频率组合会感到相对协和，而对复杂倍数关系的音高频率组合会感到相对的不协和。物理学上，由简单倍数关系的频率组成的波，其在物体上的振动模式更为规则，而这种振动的规则性对人来讲就比较悦耳。倍数越简单就越协和，因此我们可以利用这个规则来挑选八度中的音程关系并定义唱名。 1. 八度、五度与三度
现在已经知道了，某个音高Do[1]，它频率的两倍或四倍的音还是Do，分别是高了一个或两个八度的Do[8]和Do[15]。通过八度是无法产生新的唱名的，它只能让我们在同一个唱名上面上蹿下跳。因此如果想要定义出新的唱名出来，我们需要探索其他的简单整数倍数来构建音程。顺理成章地，音乐家把目光瞄准了三倍和五倍关系。
不过，首先会遇到一个麻烦：我们想要在八度的范围内来定义新的唱名和音程，但三倍、五倍音高显然已经超出了一个八度的范围。幸亏，根据八度的二倍关系，在原有整数倍数上任意地乘以或除以很多个两倍之后，依然会得到同样的唱名。也就是说，Do[1]的三倍音高与Do[1]的3/2倍音高将会是同一个唱名。因此，我们可以用3/2倍来定义这个新的音程及唱名。 音乐中，我们把这个3/2倍的音程定义为纯五度（以下简称五度），并将Do[1]向上一个五度音程得到的唱名叫做Sol[5]。相应的，Do[1]的三倍音高则为Sol[12]，比Sol[5]高了一个八度。 基于二倍关系的纯八度是最协和稳定的音程，以至于它听上去显得过于冷硬单调。而基于三倍的纯五度音程，它的协和度仅次于纯八度，听感依旧稳定的同时，却多了一丝温度。 我们可以看到，五度是由三倍关系组合八度的二倍关系获得的新音程。类似的，我们也可以用五倍关系与八度来构建另一个新的音程。 于是，我们把5/4倍的音程定义为大三度，将Do[1]向上一个大三度得到的唱名称做Mi[3]。相应的，Do[1]的五倍音高是Mi[17]，比Mi[3]高了两个八度。大三度的协和稳定性比五度又要次一些了，但是牺牲所换来的是它听起来更具有色彩感。 （关于为什么这两个新的音程要叫做“三”度、“五”度，下一小节就会看到原因。这里也不用纠结“大”和“纯”是什么意思，第四讲会细解释） 音乐其实是游走于协和与不协和之间的艺术，并不是越协和就越好听。协和的音程能带来稳定的体验，而不协和的音程却能为乐曲增色。对大脑来说，音乐太过稳定了就会很没劲，而太过“粗糙”不协和了则成了噪音。就跟烧菜一样，协和的音程就是音乐里的饭菜，不协和的音程就是油盐酱醋，一般人烧菜都会放一些佐料来调味。适宜的酱料能开胃消食，但放多了容易齁住，放少又会没胃口。当然，有的人重口味一些，有的口味比较淡，每个人的音乐的品味也各不相同。在协和与不协和的两级中找到平衡是音乐能给人带来好奇和愉悦感的秘诀。 虽然大三度已经开始变得不如八度和五度那么稳定了，但是从听觉上它还是太协和了，以至于如果一个音乐只用Do Mi Sol来作曲的话，若没有很丰富的节奏，恐怕大家都会无聊到睡着的。所以我们需要搜寻更多的佐料，即更多特色各异的音程关系，来往音乐食材里添加。 这一小节概括为一句话：二倍生八度，三倍生五度，五倍生三度。 
2. 纯律
现在已经知道了，Do的频率乘以三倍和五倍可以形成Sol和Mi，这样我们就已经获得了三个独特的音。那如果想要定义出更多的音，我们是不是可以往更高的倍数上去找呢？
由于一个音的二倍四倍都是八度音，三倍六倍都是五度音，而五倍是大三度音，如果要按照正整数倍从小往大去找全新的音程关系的话，下一个选择就是七倍关系了。可惜的是，这个七倍音在当时的音乐家听来不是很协和，不适合邀请它加入。 那还有什么办法可以生成与Do Mi Sol待在一起会好听的音出来呢？何不就地取材，试着通过加加减减拼接组合这三个音程来形成新的唱名和音程呢？ 音乐家们确实这么做了。仅凭借着两倍、三倍、五倍这三个简单倍数，他们定义出了一套完整的Do Re Mi Fa Sol La Ti的音程关系。这个以八度，大三度，和纯五度为基础衍生出音阶上音程关系的方法被叫作“纯律”。纯律是由弦乐上泛音列产生的律制，因其三度音与五度音这两个音程的倍数简单，它们组成的大三和弦最为纯正悦耳，故得名“纯律”。 下面是我整理的一张纯律音程关系表（注意音程倍数都是由2,3,5三个数字的乘除构成的）： 
如表所示，我们在已有的Do[1]、Mi[3]、Sol[5]、Do[8]四个音之外，在八度内又划分出了Re[2]、Fa[4]、La[6]、Ti[7]四个音。一共是八个音，有七个独特的唱名，我们且称它们“唱名七兄弟”。从老大Do[1]出发，到其他七个音可以形成七个不同的音程。（算上Do[1]到它自己的音程，就是八个不同音程。）
由于Mi[3]和Sol[5]在七兄弟里排行老三和老五，这也是为什么我们把Do[1]到Mi[3]和Sol[5]的音程叫做大三度和纯五度。二哥Re[2]的音高是Do[1]的\(\frac{9}{8}\)倍，音程介于纯一度和大三度之间，叫做大二度。而介于Mi[3]和Sol[5]之间的四弟Fa[4]距离Do[1]的音程是纯四度，其它音程以此类推。
七个唱名的设计非常科学。一方面七个音的搭配已经足以构建出丰富的音乐性，很好的平衡了音与音之间的协和与不协和性；一方面相比细分出一百个唱名来讲，七个唱名的设计保证了一般人即使没有受过训练，也可以用耳朵区分两个音的高低不同。
然而，纯律是有缺陷的。如果我们来比较一下Re[2]到Fa[4]的音程关系的话，会发现这个音程是一个远远比其他音程复杂的倍数关系\(\frac{4}{3}\div\frac{9}{8}=\frac{32}{27}\)，更糟糕的是从Re[2]到La[6]的音程\(\frac{5}{3}\div\frac{9}{8}=\frac{40}{27}\)，约等于1.481。大家将来会理解，音程不一定要从Do[1]向上数起，也可以从别的音算起。Re[2]到La[6]之间其实和Do[1]到Sol[5]一样，是一个五度的音程。纯五度本来的音高倍数应该是\(\frac{3}{2}=1.5\)倍，现在却偏离了1.23%。若在一个本来就不协和的音程上做微调那还好。但是，在本来极其稳定的五度上，细微的音程变化是相当明显的。这就造成以纯律定调的乐器在演奏某些音程时听上去会不协和。
这个问题早在纯律之前的五度相生律就存在了。五度相生律，古称三分损益律，是仅由八度和五度衍生出来的律制，所有的音程都是由二倍和三倍的数学关系组合出来的（见）。因此和纯律不同，五度相生律中大三度的倍数是81/64。虽然五度相生律让五度达到了最协和的音程倍数*，但它的大三度相比纯律听上去可就没这么纯正了！（点击可以观看五度相生律的视频讲解） 
那么存不存在什么办法可以让八度内的所有音程都符合简单整数倍数关系，从而变得好听呢？
答案是：不存在！我们知道2，3，5都是质数，而质数之间是没有整数倍的，也无法通过乘除组成新的质数。但是，确实有一种方法，可以在不满足简单整数倍的情况下，让所有的音程之间都变得好听，这个方法就叫做十二平均律，是我们下一讲的话题。 总结一下，这节课我们介绍了三度和五度是如何被定义的，以及由此产生的纯律，纯律中其他的音程与唱名。下一讲会基于纯律的缺点进行改进，介绍十二平均律这个定律手法，以及平均律为什么会被广泛使用在钢琴吉他等乐器中。 P.S. 1. 这篇文章看完之后，除了可以尝试课后练习之外，强烈推荐大家点击下方链接进入音频演示区，用音频来直观地体验一下八度中每一个音程的协和与不协和感。你可以将它们与纯律表中的音程的音高倍数作对照，亲自感受倍数的简单程度与音程的协和性的关系。这对将来的学习大有帮助。切记，学习音乐，不能只学习乐理，同时也需要训练你的耳朵，听懂音乐，记住音乐，创造音乐。不然就沦为了纸上谈兵。 链接：【乐理101】3+. 十二，一个神秘数字引发的革命（辅助材料） 2. 纯律有不止一种，它是用小的整数倍数发展出的音律的集合。本文中特指的，用2,3,5三个质数作为基础的纯律叫5-limiting tuning（以最大的质数作为名称中的数字），翻译过来就是“最大的因数为五的调律”，只是纯律中的一种。而用2,3,5,7四个质数作为基础的纯律就叫7-limiting tuning。这样说来，五度相生律其实也是纯律的一个特例，用2,3两个质数为基础，因此也叫3-limiting tuning。 3. 五度相生律中有一个五度并不协和，降Re与降La，被称作“狼音程“”，Wolf interval。
Q1: Do[1]的5/2倍音高是高八度的哪个音，它的唱名是？那6倍音高呢，6倍音高和3倍音高之间是什么度数关系？ Q2: 高八度的Fa[11]，它的音高频率是原八度Do[1]的几倍？它的音高频率是原八度Fa[4]的几倍？ Q3: 根据纯律的音程关系，请问Do[1]的9倍音高，15倍音高分别是什么唱名？ Q4: Re[2]和Mi[3]之间的音程是什么倍数关系？
Q1: 如果Do[1]的频率是261.6Hz（中央C），那么请问Do[8]，Do[15]的频率分别是多少？
A1: 分别是二倍523Hz和四倍1046Hz。（注意：高两个八度是四倍不是三倍）
Q2: 如果La[13]的频率是440Hz，那么请问La[6]的频率是多少？
A2: 低八度的La是220Hz。
纯五度：Perfect fifth 大三度：Major third 调律：Tuning 纯律：Just Intonation 五度相生律: Pythagorean tuning （毕达哥拉斯Pythagoras就是发现勾股定理的那位古希腊人，这个调音法据说是他最早提出的） 协和与不协和：Consonance vs. Dissonance 十二平均律：Equal temperament 泛音：Harmonic
对协和的感知应该是由「和弦中的音的泛音重叠多少」所决定的P.S. 当我们在弹奏钢琴或者吉他的一个音时，比这个音的频率高2,3,4,5...倍的声音也会混在这个音里面一同发出，这些音就叫做泛音。具体泛音的知识，我们将来会讲到。 2. 毕达哥拉斯怎么找到 Do Re Mi？ 
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王蕴藉@知乎吉他乐理老师，《乐理101》、《吉他恋爱手札》专栏作者 目录
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